Simulatore di urti fra due corpi

Due corpi si muovono su un piano e si scontrano. Regolando le masse, i moduli delle velocità e l’angolo fra le due direzioni si può osservare che cosa si conserva in un urto e che cosa invece no. L’inquadratura è fissa e centrata sul punto d’impatto: i corpi entrano in scena, si urtano al centro ed escono dai bordi, mentre gli istogrammi in basso seguono in tempo reale la quantità di moto e l’energia cinetica.

corpo 1corpo 2centro di massa

ElasticoAnelasticoCompletamente anelastico

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massa m₁

velocità v₁

massa m₂

velocità v₂

angolo θ di v₂

restituzione e

Il modello

I due corpi sono trattati come punti materiali: sono disegnati come sfere di raggio $r = \sqrt[3]{m}$ solo per renderli visibili e per evitare che si compenetrino, ma l’urto è calcolato senza rotazioni né deformazioni. Poiché entrambi i corpi viaggiano di moto rettilineo uniforme verso lo stesso punto d’incontro, la congiungente dei centri è in ogni istante parallela alla velocità relativa: l’urto è quindi sempre centrale, e il raggio delle sfere non influisce sulle velocità finali.

In ogni urto si conserva la quantità di moto totale:

$$m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}_1' + m_2\mathbf{v}_2'$$

L’energia cinetica invece si conserva solo nell’urto elastico. Il coefficiente di restituzione $e$ misura quale frazione della velocità relativa viene restituita dopo l’impatto:

$$e = \frac{|\mathbf{v}_2' - \mathbf{v}_1'|}{|\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1|}$$

• $e = 1$: urto elastico, l’energia cinetica si conserva;
• $0 < e < 1$: urto anelastico, parte dell’energia va in calore, suono e deformazione;
• $e = 0$: urto perfettamente anelastico, i due corpi proseguono uniti.

L’energia dissipata vale

$$\Delta E = \tfrac{1}{2}\,\mu\,(1 - e^2)\,|\Delta \mathbf{v}|^2, \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$

dove $\mu$ è la massa ridotta. La dipendenza è da $e^2$, non da $e$: passando da $e = 1$ a $e = 0.9$ si perde già il 19% dell’energia cinetica relativa.

Il centro di massa

L’inquadratura è fissa e centrata sul punto d’impatto. Il marcatore viola è il centro di massa del sistema: attraversa la scena di moto rettilineo uniforme, prima e dopo l’urto, senza accorgersi di nulla. È la conseguenza diretta della conservazione della quantità di moto, perché sul sistema non agiscono forze esterne. Lo si può verificare con le scie: le traiettorie dei due corpi si spezzano nel punto d’urto, quella del centro di massa no.

Nell’urto completamente anelastico i due corpi si saldano in una sfera unica di raggio $\sqrt[3]{m_1 + m_2}$, divisa da un piano ortogonale alla direzione d’impatto in una porzione blu e una rossa di area proporzionale alle due masse. È solo una convenzione grafica per ricordare da dove viene ciascuna parte: il modello resta quello dei punti materiali, e il corpo fuso trasla senza ruotare.

Da provare

Impostando $m_1 = m_2$, $v_2 = 0$ e urto elastico, il corpo che colpisce si ferma di colpo e cede tutta la velocità all’altro. Portando poi $m_2$ a 10 kg e lasciando $m_1 = 1$ kg, il corpo leggero rimbalza indietro quasi con la stessa velocità, come contro un muro.

Un’idealizzazione

Il coefficiente di restituzione non è una costante del materiale: dipende dalla velocità d’impatto, dalla temperatura e dalla geometria dei corpi. Trattarlo come un parametro fisso è un’approssimazione comoda e molto usata, ma resta un’approssimazione.