Gram-Schmidt 3D

Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma tre vettori $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ di $\mathbb{R}^3$, in generale non ortogonali tra loro, in una base ortonormale $\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3$. Le punte dei vettori sono trascinabili in modalità “Modifica v₁ v₂ v₃”; la vista si ruota trascinando lo sfondo.

Calcola e mantieniModifica v₁ v₂ v₃Resetrallentatore1.00×

v₁, v₂, v₃ = —u₁, u₂, u₃ = —‖u₁‖, ‖u₂‖, ‖u₃‖ = —u₁·u₂, u₁·u₃, u₂·u₃ = —

Il procedimento passo-passo

Passo 1. Il primo versore si ottiene normalizzando $\vec v_1$, cioè dividendolo per la propria norma:

$\vec u_1=\dfrac{\vec v_1}{\lVert \vec v_1\rVert}$

Passo 2. Da $\vec v_2$ si toglie la sua componente lungo $\vec u_1$ (la proiezione su $\vec u_1$), ottenendo la parte ortogonale $\vec w_2$; si normalizza infine $\vec w_2$:

$\vec w_2=\vec v_2-(\vec v_2\cdot\vec u_1)\,\vec u_1,\qquad \vec u_2=\dfrac{\vec w_2}{\lVert \vec w_2\rVert}$

Passo 3. Da $\vec v_3$ si tolgono entrambe le proiezioni, su $\vec u_1$ e su $\vec u_2$; il resto ortogonale $\vec w_3$ viene poi normalizzato:

$\vec w_3=\vec v_3-(\vec v_3\cdot\vec u_1)\,\vec u_1-(\vec v_3\cdot\vec u_2)\,\vec u_2,\qquad \vec u_3=\dfrac{\vec w_3}{\lVert \vec w_3\rVert}$

Premendo “Calcola e mantieni” questa sequenza viene animata sul simulatore, colore per colore, nello stesso ordine appena descritto. Lo slider “rallentatore” permette di seguirla con più calma, senza modificare il risultato finale.

Perché le proiezioni si ribaltano

Nell’animazione le proiezioni non si limitano a sparire mentre il vettore ortogonale cresce: prima vengono ribaltate di $180°$ attorno all’origine (si ottiene così il loro opposto, dato che sottrarre un vettore equivale a sommare il proprio opposto), poi traslate punta-coda sulla punta del vettore di partenza (nel passo 3, la seconda proiezione ribaltata si accoda alla punta della prima). Il vettore ortogonale cresce quindi dall’origine fino alla punta di questa catena. È una scelta didattica precisa: con i vettori si lavora solo in logica additiva, punta-coda. La sottrazione tra vettori si esegue così: sommando l’opposto del vettore da togliere.

Verifica di ortonormalità

Sotto i pulsanti del simulatore compaiono quattro righe numeriche, sempre aggiornate dal vivo:

• le coordinate dei vettori di partenza $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ (modificabili anche digitandole direttamente, in modalità “Modifica v₁ v₂ v₃”);
• le coordinate dei versori risultato $\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3$, che compaiono una alla volta durante “Calcola e mantieni”, in sincrono con l’animazione;
• le norme $\lVert\vec u_1\rVert,\lVert\vec u_2\rVert,\lVert\vec u_3\rVert$, che devono restare pari a $1$ (i vettori risultato sono versori, cioè di lunghezza unitaria);
• i prodotti scalari incrociati $\vec u_1\cdot\vec u_2,\ \vec u_1\cdot\vec u_3,\ \vec u_2\cdot\vec u_3$, che devono restare pari a $0$ (i vettori risultato sono a due a due ortogonali).

Norme unitarie e prodotti scalari nulli sono, insieme, proprio la definizione di base ortonormale: quei numeri dal vivo sono un modo per verificare, per qualunque terna di vettori di partenza linearmente indipendenti, che il procedimento ha funzionato correttamente.

Vedi anche

Per la versione che si ferma all’ortogonalità, senza normalizzare i vettori risultato, vedi Gram-Schmidt 3D senza normalizzazione.

Vedi anche

Questo simulatore lavora solo in $\mathbb{R}^3$ e mostra i risultati come numeri decimali approssimati. Per la soluzione esatta (in aritmetica razionale, con frazioni al posto dei decimali) e per lavorare con più di tre vettori o dimensioni, usa il risolutore di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.