Gram-Schmidt 3D senza normalizzazione

Questa è la variante del procedimento di Gram-Schmidt che si ferma all’ortogonalizzazione: a partire da tre vettori $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ di $\mathbb{R}^3$ produce tre vettori $\vec w_1,\vec w_2,\vec w_3$ mutuamente ortogonali, ma non di lunghezza $1$ (manca l’ultimo passo di normalizzazione). Le punte dei vettori sono trascinabili in modalità “Modifica v₁ v₂ v₃”.

Calcola e mantieniModifica v₁ v₂ v₃Resetrallentatore1.00×

v₁, v₂, v₃ = —w₁, w₂, w₃ = —‖w₁‖, ‖w₂‖, ‖w₃‖ = — (non necessariamente 1)w₁·w₂, w₁·w₃, w₂·w₃ = —

Il procedimento passo-passo

Passo 1. Il primo vettore risultato coincide con $\vec v_1$: non c’è nulla da togliere né da normalizzare.

$\vec w_1=\vec v_1$

Passo 2. Da $\vec v_2$ si toglie la sua proiezione su $\vec w_1$. Poiché $\vec w_1$ non è un versore, il coefficiente di proiezione è $\dfrac{\vec v_2\cdot\vec w_1}{\vec w_1\cdot\vec w_1}$ (non basta il solo prodotto scalare, come accadrebbe con un versore):

$\vec w_2=\vec v_2-\dfrac{\vec v_2\cdot\vec w_1}{\vec w_1\cdot\vec w_1}\,\vec w_1$

Passo 3. Da $\vec v_3$ si tolgono entrambe le proiezioni, su $\vec w_1$ e su $\vec w_2$, con lo stesso tipo di coefficiente normalizzato per la norma al quadrato del vettore su cui si proietta:

$\vec w_3=\vec v_3-\dfrac{\vec v_3\cdot\vec w_1}{\vec w_1\cdot\vec w_1}\,\vec w_1-\dfrac{\vec v_3\cdot\vec w_2}{\vec w_2\cdot\vec w_2}\,\vec w_2$

Premendo “Calcola e mantieni” questa sequenza viene animata sul simulatore, colore per colore, nello stesso ordine appena descritto. Lo slider “rallentatore” permette di seguirla con più calma, senza modificare il risultato finale.

Perché le proiezioni si ribaltano

Nell’animazione le proiezioni non si limitano a sparire mentre il vettore ortogonale cresce: prima vengono ribaltate di $180°$ attorno all’origine (si ottiene così il loro opposto, dato che sottrarre un vettore equivale a sommare il proprio opposto), poi traslate punta-coda sulla punta del vettore di partenza (nel passo 3, la seconda proiezione ribaltata si accoda alla punta della prima). Il vettore ortogonale cresce quindi dall’origine fino alla punta di questa catena. È una scelta didattica precisa: con i vettori si lavora solo in logica additiva, punta-coda. La sottrazione tra vettori si esegue così: sommando l’opposto del vettore da togliere.

Verifica di ortogonalità

Sotto i pulsanti del simulatore compaiono quattro righe numeriche, sempre aggiornate dal vivo:

• le coordinate dei vettori di partenza $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ (modificabili anche digitandole direttamente, in modalità “Modifica v₁ v₂ v₃”);
• le coordinate dei vettori risultato $\vec w_1,\vec w_2,\vec w_3$, che compaiono uno alla volta durante “Calcola e mantieni”, in sincrono con l’animazione;
• le norme $\lVert\vec w_1\rVert,\lVert\vec w_2\rVert,\lVert\vec w_3\rVert$, segnate come “non necessariamente 1” perché qui, a differenza della versione ortonormalizzata, non ci si aspetta in generale che valgano $1$: la lunghezza dei vettori risultato dipende dai vettori di partenza (può capitare, per alcune terne di partenza, che valgano comunque $1$: è un caso particolare, non la regola);
• i prodotti scalari incrociati $\vec w_1\cdot\vec w_2,\ \vec w_1\cdot\vec w_3,\ \vec w_2\cdot\vec w_3$, che invece devono restare pari a $0$ (i vettori risultato sono a due a due ortogonali, anche se non unitari).

Il prodotto scalare nullo è, da solo, la proprietà che definisce l’ortogonalità: quel numero dal vivo è un modo per verificare, per qualunque terna di vettori di partenza linearmente indipendenti, che il procedimento ha funzionato correttamente, indipendentemente dalla lunghezza dei vettori ottenuti.

Vedi anche

Per la versione completa, che normalizza anche i vettori risultato ottenendo una base ortonormale, vedi Gram-Schmidt 3D.

Vedi anche

Questo simulatore lavora solo in $\mathbb{R}^3$ e mostra i risultati come numeri decimali approssimati. Per la soluzione esatta (in aritmetica razionale, con frazioni al posto dei decimali) e per lavorare con più di tre vettori o dimensioni, usa il risolutore di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.