Forma esponenziale dei numeri complessi

Scrivere un numero complesso come $z = \rho e^{i\theta}$ sembra solo una notazione comoda. In realtà nasconde una domanda che vale la pena sciogliere: perché $e^{i\theta}$ è un numero complesso, e da dove salta fuori l’esponenziale?

L’idea è guardare una rotazione come una somma di tanti piccoli passi. Ruotare di un angolo $\theta$ equivale a moltiplicare per il fattore $\left(1 + \dfrac{i\theta}{n}\right)$ ripetuto $n$ volte: ogni passo è uno spostamento piccolo e perpendicolare alla posizione attuale, perché moltiplicare per $i$ ruota di $90°$. Partendo dal numero $1$ e applicando $n$ volte questo fattore si ottiene il poligono

$$\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n.$$

Al crescere di $n$ il poligono si infittisce e si appoggia all’arco di circonferenza di raggio $1$: il modulo finale tende a $1$ e l’angolo accumulato tende a $\theta$. Quel limite è, per definizione, $e^{i\theta}$ — un numero complesso, ottenuto come limite di numeri complessi — e il suo valore è

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

È la formula di Eulero, che qui non si assume ma emerge.

e^iθ come limite di un poligono

e^iθ = lim_n→∞ (1 + iθ/n)ⁿ

passi n

5

angolo θ

modulo finale |z_n|

1.000

obiettivo: 1

argomento finale arg(z_n)

90.0°

poligono (1+iθ/n)ⁿarco obiettivoe^iθ

Muovi i due cursori: con pochi passi il poligono è spigoloso e il suo vertice finale cade fuori dal cerchio, con modulo $|z_n| > 1$ e argomento $< \theta$. Aumentando $n$ i due numeri in basso convergono a $1$ e a $\theta$, e il vertice si posa sul punto $e^{i\theta}$. Per un numero qualsiasi $z = \rho e^{i\theta}$ basta poi scalare il cerchio del modulo $\rho$.